Задача №1155
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-2x+1}{x^2-4x+2}\right)^{x}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-2x+1}{x^2-4x+2}\right)^{x}
=\left[1^{\infty}\right]
=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{x^2-2x+1}{x^2-4x+2}-1\right)^{x}=\\
=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x-1}{x^2-4x+2}\right)^{x}
=\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{2x-1}{x^2-4x+2}\right)^{\frac{x^2-4x+2}{2x-1}}\right)^{\frac{2x^2-x}{x^2-4x+2}}
=e^2.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{e^2}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №362 |