Задача №1154
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}}\).
Решение
Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e}\), то получим:
\[
\begin{aligned}
& \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}=\lim_{x\to-\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)^{x}=0;\\
& \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)^{x}=+\infty.
\end{aligned}
\]
Ответ:
При \(\displaystyle{x\to-\infty}\) предел равен 0; при \(\displaystyle{x\to+\infty}\) предел равен \(\displaystyle{+\infty}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №361 |