Задача №1147
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}}\).
Решение
Если \(\displaystyle{k=0}\) или \(\displaystyle{m=0}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}=1}\). Если же \(\displaystyle{k\neq{0}}\) и \(\displaystyle{m\neq{0}}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}
=\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{k}{x}\right)^{\frac{x}{k}}\right)^{mk}
=e^{mk}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{e^{mk}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №354 |