Задача №1139
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+\sin{x}}-\sqrt{1-\sin{x}}}{\tg{x}}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+\sin{x}}-\sqrt{1-\sin{x}}}{\tg{x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+\sin{x}}-\sqrt{1-\sin{x}}\right)\left(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}}\right)}{\tg{x}\left(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin{x}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot\left(\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}}\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\cos{x}}{\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}}}
=1.
\]
Ответ:
1Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №346 |