Задача №1135
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{a\to{b}}\frac{\sin^2{a}-\sin^2{b}}{a^2-b^2}}\).
Решение
Если \(\displaystyle{b=0}\), то получим:
\[
\lim_{a\to{b}}\frac{\sin^2{a}-\sin^2{b}}{a^2-b^2}
=\lim_{a\to{0}}\frac{\sin^2{a}}{a^2}
=\lim_{a\to{0}}\left(\frac{\sin{a}}{a}\right)^2
=1.
\]
Если же \(\displaystyle{b\neq{0}}\), то получим:
\[
\lim_{a\to{b}}\frac{\sin^2{a}-\sin^2{b}}{a^2-b^2}
=\lim_{a\to{b}}\frac{(\sin{a}-\sin{b})\cdot(\sin{a}+\sin{b})}{(a-b)\cdot(a+b)}
=\lim_{a\to{b}}\frac{2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\cdot(\sin{a}+\sin{b})}{(a-b)\cdot(a+b)}=\\
=\lim_{a\to{b}}\left(\frac{\cos\frac{a+b}{2}\cdot(\sin{a}+\sin{b})}{a+b}\cdot\frac{\sin\frac{a-b}{2}}{\frac{a-b}{2}}\right)
=\frac{2\cos{b}\sin{b}}{2b}
=\frac{\sin{2b}}{2b}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\sin{2b}}{2b}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №342 |