Задача №1134
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sin(a+x)-\sin(a-x)}{\tg(a+x)-\tg(a-x)}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sin(a+x)-\sin(a-x)}{\tg(a+x)-\tg(a-x)}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\cos{a}\sin{x}}{\frac{\sin{2x}}{\cos(a+x)\cos(a-x)}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(2\cos(a+x)\cos(a-x)\cos{a}\cdot\frac{\sin{x}}{\sin{2x}}\right)
=\lim_{x\to{0}}\frac{\cos(a+x)\cos(a-x)\cos{a}}{\cos{x}}
=\cos^3{a}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\cos^3{a}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №341 |