Задача №1133
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}}\).
Решение
Если \(\displaystyle{|\alpha|=|\beta|}\), то \(\displaystyle{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})=0}\), поэтому и заданный предел будет равен 0. Если же \(\displaystyle{|\alpha|\neq|\beta|}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{-2\sin\frac{\alpha{x}+\beta{x}}{2}\cdot\sin\frac{\alpha{x}-\beta{x}}{2}}{x^2}=\\
=-2\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x^2}
=-2\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x}\cdot\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x}\right)=\\
=-2\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}}\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\\
=-\frac{(\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta)}{2}\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}}
=-\frac{\alpha^2-\beta^2}{2}\cdot{1}\cdot{1}
=\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}.
\]
Полученный ранее результат при \(\displaystyle{|\alpha|=|\beta|}\) подпадает под формулу \(\displaystyle{\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}}\), т.е. при \(\displaystyle{|\alpha|=|\beta|}\) имеем \(\displaystyle{\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}=0}\). Следовательно, заданный предел будет равен \(\displaystyle{\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}}\) при любых значениях \(\displaystyle{\alpha}\) и \(\displaystyle{\beta}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №340 |