Задача №1133
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}\).
Решение
Если \(|\alpha|=|\beta|\), то \(\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})=0\), поэтому и заданный предел будет равен 0. Если же \(|\alpha|\neq|\beta|\), то получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{-2\sin\frac{\alpha{x}+\beta{x}}{2}\cdot\sin\frac{\alpha{x}-\beta{x}}{2}}{x^2}=\\
=-2\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x^2}
=-2\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x}\cdot\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x}\right)=\\
=-2\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}}\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\\
=-\frac{(\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta)}{2}\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}}
=-\frac{\alpha^2-\beta^2}{2}\cdot{1}\cdot{1}
=\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}.
\]
Полученный ранее результат при \(|\alpha|=|\beta|\) подпадает под формулу \(\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}\), т.е. при \(|\alpha|=|\beta|\) имеем \(\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}=0\). Следовательно, заданный предел будет равен \(\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}\) при любых значениях \(\alpha\) и \(\beta\).
Ответ:
\(\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}\)