Задача №1128
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos{x}-\sin{x}}{\cos{2x}}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos{x}-\sin{x}}{\cos{2x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\left(\cos{x}-\sin{x}\right)\cdot\left(\cos{x}+\sin{x}\right)}{\cos{2x}\cdot\left(\cos{x}+\sin{x}\right)}=\\
=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^2{x}-\sin^2{x}}{\cos{2x}\cdot\left(\cos{x}+\sin{x}\right)}
=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos{2x}}{\cos{2x}\cdot\left(\cos{x}+\sin{x}\right)}
=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos{x}+\sin{x}}
=\frac{1}{\sqrt{2}}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №335 |