Задача №1123
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\pi}\frac{\sin{3x}}{\sin{2x}}}\).
Решение
В новых изданиях в данном примере есть опечатка, – в знаменателе стоит \(\displaystyle{\cos{2x}}\). В этом случае предел не содержит никакой неопределённости: он равен 0. В старых изданиях в знаменателе имеем \(\displaystyle{\sin{2x}}\). В этом случае будем иметь:
\[
\lim_{x\to\pi}\frac{\sin{3x}}{\sin{2x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\left[\begin{aligned}& t=\pi-x;\\& t\to{0}.\end{aligned}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{3t}}{-\sin{2t}}
=\lim_{t\to{0}}\left(-\frac{3}{2}\cdot\frac{\frac{\sin{3t}}{3t}}{\frac{\sin{2t}}{2t}}\right)
=-\frac{3}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{3}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №330 |