Задача №1117
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1-\sin{x}-\cos{x}}}\).
Решение
Используем формулы \(\displaystyle{1-\cos{x}=2\sin^2\frac{x}{2}}\) и \(\displaystyle{\sin{x}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}\).
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1-\sin{x}-\cos{x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}+\sin{x}}{1-\cos{x}-\sin{x}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}}
=-1.
\]
Ответ:
-1Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №324 |