Задача №1115
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos^2{x}}{x\sin{2x}}}\) или \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos^3{x}}{x\sin{2x}}}\).
Решение
В двадцатом издании задачника (от 1985 года) выражение в числителе имеет вид \(\displaystyle{1-\cos^3{x}}\). В более новых изданиях числитель таков: \(\displaystyle{1-\cos^2{x}}\), однако ответ в новых изданиях приводится почему-то для предела из старого издания. Здесь рассмотрим оба случая, начав с более нового условия:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos^2{x}}{x\sin{2x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{x}}{x\cdot{2}\sin{x}\cos{x}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}}{2x\cdot\cos{x}}
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\cdot\frac{1}{2\cos{x}}\right)
=\frac{1}{2}
\]
Теперь перейдём к пределу, взятому из более старой версии задачника. Можно использовать формулу \(\displaystyle{1-\cos{x}=2\sin^2\frac{x}{2}}\), однако мне более нравится путь домножения числителя и знаменателя на выражение \(\displaystyle{1+\cos{x}}\).
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos^3{x}}{x\sin{2x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{x\sin{2x}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{x\sin{2x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos^2{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{x\sin{2x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{x}\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{2x\sin{x}\cos{x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)}
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\cdot\frac{1+\cos{x}+\cos^2{x}}{2\cos{x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)}\right)
=\frac{3}{4}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\) или \(\displaystyle{\frac{3}{4}}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №322 |