Задача №1114
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{x^2}}\).
Решение
Можно использовать формулу \(\displaystyle{1-\cos{x}=2\sin^2\frac{x}{2}}\), однако мне более нравится путь простого домножения числителя и знаменателя на выражение \(\displaystyle{1+\cos{x}}\).
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{x^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})\cdot(1+\cos{x})}{x^2\cdot(1+\cos{x})}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{x}}{x^2\cdot(1+\cos{x})}
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos{x}}\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №321 |