Задача №1111
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{(\sin\alpha)^m}}\).
Решение
\[
\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{(\sin\alpha)^m}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{\alpha\to{0}}\left(\frac{\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{\alpha^n}}{\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^m}\cdot\alpha^{n-m}\right)
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{\alpha^n}}{\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^m}\to{1}}\), то рассмотрим три случая. Если \(\displaystyle{n\lt{m}}\), то \(\displaystyle{\alpha^{n-m}\to\infty}\), поэтому исходный предел будет равен \(\displaystyle{\infty}\). Если же \(\displaystyle{n=m}\), то \(\displaystyle{\alpha^{n-m}=1}\), поэтому и предел будет равен 1. И, наконец, если \(\displaystyle{n\gt{m}}\), то \(\displaystyle{\alpha^{n-m}\to{0}}\), поэтому и предел будет равен 0.
Ответ:
\(\displaystyle{\infty}\) при \(\displaystyle{n\lt{m}}\); 1 при \(\displaystyle{n=m}\); 0 при \(\displaystyle{n\gt{m}}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №318 |