Задача №1104
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3}\right)}\).
Решение
\[
\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3}\right)=\\
= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3}\right)\cdot\left(\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}\right)}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}} = \\
= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x-4}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}}
\]
Рассмотрим два случая: \(\displaystyle{x\to-\infty}\) и \(\displaystyle{x\to+\infty}\):
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{5x-4}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}}
=\lim_{x\to-\infty}\frac{5-\frac{4}{x}}{-\sqrt{1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}-\sqrt{1-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^2}}}
=-\frac{5}{2}.
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x-4}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{5-\frac{4}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^2}}}
=\frac{5}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{5}{2}}\) при \(\displaystyle{x\to-\infty}\); \(\displaystyle{\frac{5}{2}}\) при \(\displaystyle{x\to+\infty}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №311 |