Задача №1103
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)}\).
Решение
Если \(\displaystyle{x\to{-\infty}}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to{-\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=+\infty}\). Если же \(\displaystyle{x\to{+\infty}}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)
=\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-x\right)=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x\right)}{\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x}=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{(a+b)x+ab}{\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{a+b+\frac{ab}{x}}{\sqrt{1+\frac{a+b}{x}+\frac{ab}{x^2}}+1}
=\frac{a+b}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{+\infty}\) при \(\displaystyle{x\to-\infty}\); \(\displaystyle{\frac{a+b}{2}}\) при \(\displaystyle{x\to+\infty}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №310 |