Задача №1102
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}\).
Решение
Если \(\displaystyle{x\to{-\infty}}\), то так как \(\displaystyle{\sqrt{x^2+1}-x\to{+\infty}}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to{-\infty}}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=-\infty}\). Если же \(\displaystyle{x\to{+\infty}}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{+\infty}}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\infty}\) при \(\displaystyle{x\to-\infty}\); \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\) при \(\displaystyle{x\to+\infty}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №309 |