Задача №1101
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}\).
Решение
Если \(\displaystyle{x\to{-\infty}}\), то так как \(\displaystyle{\sqrt{x^2+1}\to{+\infty}}\) и \(\displaystyle{-x\to{+\infty}}\), то \(\displaystyle{\sqrt{x^2+1}-x\to{+\infty}}\). Если же \(\displaystyle{x\to{+\infty}}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}
=0.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{+\infty}\) при \(\displaystyle{x\to-\infty}\); 0 при \(\displaystyle{x\to+\infty}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №308 |