Задача №1098
Условие
Как изменяются корни квадратного уравнения \(\displaystyle{ax^2+bx+c=0}\), когда \(\displaystyle{b}\) и \(\displaystyle{c}\) сохраняют постоянные значения (\(\displaystyle{b\neq{0}}\)), а величина \(\displaystyle{a}\) стремится к нулю?
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{a\to{0}}\frac{|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{a\to{0}}\frac{\left(|b|-\sqrt{b^2-4ac}\right)\cdot\left(|b|+\sqrt{b^2-4ac}\right)}{2a\cdot\left(|b|+\sqrt{b^2-4ac}\right)}
=\lim_{a\to{0}}\frac{2c}{|b|+\sqrt{b^2-4ac}}
=\frac{c}{|b|}.
\]
Пусть \(\displaystyle{b\lt{0}}\), тогда получим:
\[
\begin{aligned}
& x_1=\frac{|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a};\;x_2=\frac{|b|+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\\
& \lim_{a\to{0}}x_1=\frac{c}{|b|}=-\frac{c}{b};\;\lim_{a\to{0}}x_2=\infty.
\end{aligned}
\]
Пусть \(\displaystyle{b\gt{0}}\), тогда получим:
\[
\begin{aligned}
& x_1=\frac{-|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a};\;x_2=\frac{-|b|+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\\
& \lim_{a\to{0}}x_1=\infty;\;\lim_{a\to{0}}x_2=-\frac{c}{|b|}=-\frac{c}{b}.
\end{aligned}
\]
Ответ:
Один из корней стремится к \(\displaystyle{-\frac{c}{b}}\), другой – к бесконечности.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №305 |