Задача №1097
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}}\).
Решение
Рассмотрим пару вспомогательных пределов:
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-2}{x-1}
=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{1}}\frac{\left(\sqrt[3]{7+x^3}-2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(7+x^3\right)^2}+2\sqrt[3]{7+x^3}+4\right)}{(x-1)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(7+x^3\right)^2}+2\sqrt[3]{7+x^3}+4\right)}=\\
=\lim_{x\to{1}}\frac{x^3-1}{(x-1)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(7+x^3\right)^2}+2\sqrt[3]{7+x^3}+4\right)}
=\lim_{x\to{1}}\frac{x^2+x+1}{\sqrt[3]{\left(7+x^3\right)^2}+2\sqrt[3]{7+x^3}+4}
=\frac{1}{4}.
\]
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt{3+x^2}-2}{x-1}
=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{1}}\frac{\left(\sqrt{3+x^2}-2\right)\cdot\left(\sqrt{3+x^2}+2\right)}{(x-1)\cdot\left(\sqrt{3+x^2}+2\right)}=\\
=\lim_{x\to{1}}\frac{x^2-1}{(x-1)\cdot\left(\sqrt{3+x^2}+2\right)}
=\lim_{x\to{1}}\frac{x+1}{\sqrt{3+x^2}+2}
=\frac{1}{2}.
\]
С учётом рассмотренных выше пределов, получим:
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}
=\lim_{x\to{1}}\left(\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{3+x^2}-2}{x-1}\right)
=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}
=-\frac{1}{4}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{4}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №304 |