Задача №1096
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}}{x+x^2}}\).
Решение
Рассмотрим пару вспомогательных пределов:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x}
=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}{x\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{x\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{x}{\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1}
=0.
\]
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[4]{1-2x}-1}{x}
=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[4]{1-2x}-1\right)\cdot\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)}{x\cdot\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1-2x}-1}{x\cdot\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1-2x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x}+1\right)}{x\cdot\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x}+1\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{-2x}{x\cdot\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x}+1\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{-2}{\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x}+1\right)}
=-\frac{1}{2}.
\]
С учётом рассмотренных выше пределов, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}}{x+x^2}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1-\sqrt[4]{1-2x}+1}{x+x^2}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x}\cdot\frac{1}{x+1}\right)-\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sqrt[4]{1-2x}-1}{x}\cdot\frac{1}{x+1}\right)
=0-\left(-\frac{1}{2}\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №303 |