Задача №1091
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{h\to{0}}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}}\).
Решение
Если \(\displaystyle{x=0}\), то при условии \(\displaystyle{h\to{0+0}}\) получим: \(\displaystyle{\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}}\). Следовательно, в данном случае \(\displaystyle{\lim_{h\to{0}}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\infty}\). Если же \(\displaystyle{x\gt{0}}\), то получим:
\[
\lim_{h\to{0}}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}
=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{h\to{0}}\frac{\left(\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}{h\cdot\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\\
=\lim_{h\to{0}}\frac{x+h-x}{h\cdot\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}
=\lim_{h\to{0}}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}
=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
\]
Ответ:
При \(\displaystyle{x\gt{0}}\) предел равен \(\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}}\); а при \(\displaystyle{x=0}\) предел равен \(\displaystyle{\infty}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №298 |