Задача №1053
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}}\).
Решение
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1\cdot\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{2}}}{\frac{1\cdot\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}}}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{3}\cdot\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{3^n}}\right)
=\frac{4}{3}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{4}{3}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №260 |