Задача №1037
Условие
Пусть \(\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{aligned}&x+1;\;x\le{1}; \\ &3-ax^2;\;x\gt{1}.\end{aligned}\right.}\). При каком выборе числа \(\displaystyle{a}\) функция \(\displaystyle{f(x)}\) будет непрерывной? Построить её график.
Решение
Функции \(\displaystyle{x+1}\) и \(\displaystyle{3-ax^2}\) непрерывны при любых \(\displaystyle{x\in{R}}\). Исследуем на разрыв точку \(\displaystyle{x=1}\).
Так как \(\displaystyle{f(1)=2}\), то функция будет непрерывной при \(\displaystyle{3-a=2}\), откуда имеем \(\displaystyle{a=1}\).
При \(\displaystyle{a=1}\) получим, что \(\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{aligned}&x+1;\;x\le{1}; \\ &3-x^2;\;x\gt{1}.\end{aligned}\right.}\). Построим график этой функции. Серой пунктирной линией показан график параболы \(\displaystyle{y=3-x^2}\).
Ответ:
\(\displaystyle{a=1}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №3 | Непрерывные функции |
| Задача №223 |