Предел: Корень из корня из корня ...

[0201400]

Я понимаю, что задания разные, но какая-то общая идея решения есть. Расскажите, какие методы применяются для решения таких пределов:
1. \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})\)

2. \(\lim_{x\to a+0}(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}-\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}})\)

3. \(\lim_{x\to+\infty}(\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}})\)

Есть ещё задания на исследование на сходимость.Встречал давно. Кажется, выглядит так:
\(x_n=\sqrt{3+\sqrt{3+ ... +\sqrt{3}}}\)
Там этих вложенных корней n штук

[Алексей]

Тут скорее есть не общая идея, а общие идеи

1. Домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, т.е. на \(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}\) (как это сделать показано тут). Затем, после раскрытия скобок и упрощения числителя нужно будет и числитель и знаменатель разделить на \(\sqrt{x}\).

2. Тут, наверное, опечатка и \(x\to 0+0\). Я бы сделал замену \(t=\frac{1}{x}\). Так как \(x\to 0+0\), то \(t\to+\infty\). Тогда предел станет похожим на пункт первый: \(\lim_{t\to +\infty}\sqrt{t+\sqrt{t+\sqrt{t}}}-\sqrt{t-\sqrt{t+\sqrt{t}}}\). А дальше те же методы, что и в пункте 1.

3. Здесь применяется метод, описанный по этой ссылке. Нужно разделить и числитель и знаменатель на \(\sqrt{x}\).

4. Здесь применима рекурсия. Так как примеры такого рода очень популярны, Фихтенгольц в первом томе своего "Математического анализа" полностью разбирает этот предел в общем виде.

Отправка.png (102.66 КБ) 5947 просмотров

[0201400]

В номере 2 не опечатка там a+0

А через некоторый промежуток заданий идёт куча примеров, где появляются всякие \(a\), альфы и прочие параметры

---
Спасибо

[Алексей]

В номере 2 не опечатка там a+0

А через некоторый промежуток заданий идёт куча примеров, где появляются всякие \(a\), альфы и прочие параметры

Хм... Тогда, наверное, тут надо подумать насчет возможного множества значений параметра \(a\). Сейчас прикину, что там выйдет, если учесть то, что выражение под корнем должно быть неотрицательно. К первому корню претензий нет, а вот ко второму корню есть вопросы.

---
Всегда пожалуйста Кстати, как предыдущие примеры, преподаватель одобрил?

[0201400]

Предыдущие примеры я ещё не демонстрировал преподавателю. На самом деле, это примерные задания с экзамена, который я не сдал. Так что нужно подождать числа до 21-го или 22-го. Я обязательно напишу по этому поводу позже, а пока мне надо хотя бы хорошенько понять решения... и самому решать научиться. Но решения выглядят убедительно, только вот я думаю, что писать "\(\triangle x^2\)" некорректно. Надо "\((\triangle x)^2\)".

[Алексей]

Предыдущие примеры я ещё не демонстрировал преподавателю. На самом деле, это примерные задания с экзамена, который я не сдал. Так что нужно подождать числа до 21-го или 22-го. Я обязательно напишу по этому поводу позже, а пока мне надо хотя бы хорошенько понять решения... и самому решать научиться. Но решения выглядят убедительно, только вот я думаю, что писать "\(\Delta x^2\)" некорректно. Надо "\((\Delta x)^2\)".

Запись на ваше усмотрение Хотите взять в скобки - ошибки не будет, хотя авторы книг обычно скобки опускают:

Отправка.png (22.93 КБ) 5944 просмотра

[0201400]

Отходим от темы, конечно. Но всё же спрошу. Если так пишут авторы книг, то \((\triangle x)^2\) не то же самое, что и \(\triangle ^2 x\)? И как же тогда записать это самое \(\triangle ^2 x\) в смысле \((x-x_0)^2\)

Я почему-то решил, что \((\triangle x)^2\) это как \(\triangle ^2 x\). А \(\triangle x^2\) дельта квадрата \(x\)

[Алексей]

Дело в том, что \(\Delta x\) трактуется как неделимый символ. Степень, которую ставят после него, относится к всему символу. Поэтому традиционно скобки не указывают. Если вам нужно именно приращение для \(x^2\), это выражение будет указано уже в скобках: \(\Delta \left(x^2 \right)\).
Кстати, этот символ в техе вызывается командой \Delta, а не \triangle

[Алексей]

Теперь насчёт второго предела, т.е. \(\lim_{x\to a+0}\left( \sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}-\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}\right)\). Если тут в самом деле опечатки нет, то нужно вначале прояснить, какие значения может принимать \(x\), - тогда уже можно указать различные ответы в зависимости от параметра \(a\). Из того, что \(x\) расположен в знаменателе, да ещё и под квадратным корнем, следует, что \(x>0\). На этом вопросы к \(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}\) исчерпываются.

Из второго корня имеем: \(\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}} \geqslant 0\)
\(\frac{1}{x}\geqslant\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}\)

Обе части этого неравенства положительны, поэтому можно возвести в квадрат:

\(\frac{1}{x^2}\geqslant \frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}\)

Так как \(x^2>0\), то можно умножить на \(x^2\) обе части:

\(1\geqslant x + x\sqrt{x}\), \(\left(\sqrt{x} \right)^3+(\sqrt{x})^2-1\leqslant 0\).

По сути, нужно решить уравнение \(t^3+t^2-1=0\), где \(t=\sqrt{x}\).

Это уравнение имеет один действительный корень, \(t_0\approx 0,7549\), откуда \(x_0\approx 0,57\). Короче говоря, мы получим такую область изменения \(x\): \(0<x \leqslant x_0\).

Таким образом \(x\) может стремиться справа лишь к тому значению параметра \(a\), что лежит в пределах \(0\leqslant a<x_0\).

Если \(a=0\), то нужно сделать замену, о которой я писал во втором сообщении на этой странице. Если же \(0< a<x_0\), то ответ получим простой подстановкой параметра \(a\) вместо \(x\).