Решение
Начнём с вычисления определителя матрицы \(\displaystyle{A}\). Можно, разумеется, применить стандартную формулу, однако выгоднее найти алгебраические дополнения элементов первой строки и выполнить разложение определителя по первой строке. Дело в том, что на втором шаге нам всё равно придётся вычислять алгебраические дополнения каждого элемента матрицы, так что лучше выполнить часть работы заранее.
\[
\begin{aligned}
& A_{11}=(-1)^{2}\cdot\left|\begin{array}{cc} 9 & 4\\ 3 & 2\end{array}\right|=6;\\
& A_{12}=(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc} -4 &4 \\ 0 & 2\end{array}\right|=8;\\
& A_{13}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} -4 & 9\\ 0 & 3\end{array}\right|=-12.
\end{aligned}
\]
\[
\Delta{A}
=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}
=1\cdot{6} + 7\cdot{8} + 3\cdot(-12)
=26
\]
Так как \(\displaystyle{\Delta{A}\neq{0}}\), то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения остальных элементов заданной матрицы:
\[
\begin{aligned}
& A_{21}=(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc} 7 & 3\\ 3 & 2\end{array}\right|=-5;\;
A_{22}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 0 & 2\end{array}\right|=2;\;
A_{23}=(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 7\\ 0 & 3\end{array}\right|=-3;\\
& A_{31}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} 7 & 3\\ 9 & 4\end{array}\right|=1;\;
A_{32}=(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 3\\ -4 & 4\end{array}\right|=-16;\;
A_{33}=(-1)^{6}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 7\\ -4 & 9\end{array}\right|=37.
\end{aligned}
\]
Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:
\[
\overline{A}=\left( \begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end{array} \right); \;
\overline{A}^T=\left( \begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right).
\]
Используя формулу \(\displaystyle{A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot\overline{A}^T}\), получим:
\[
A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left( \begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)=
\left( \begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)
\]
Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: \(\displaystyle{A^{-1}\cdot A=E}\) или \(\displaystyle{A\cdot A^{-1}=E}\). Проверим выполнение равенства \(\displaystyle{A\cdot A^{-1}=E}\):
\[
A\cdot{A^{-1}}
=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 7 & 3 \\
-4 & 9 & 4\\
0 & 3 & 2\end{array} \right)\cdot
\frac{1}{26}\cdot \left( \begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)
=\frac{1}{26}\cdot\left( \begin{array} {ccc} 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{array} \right)
=\left( \begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right)
=E
\]
Проверка пройдена успешно, обратная матрица найдена верно.