Мне надо просто вспомнить формулу

Перед тем, как спланировать занятия, я непременно беседую с каждым студентом. Мне нужно понять, с какими именно темами возникли проблемы, а также можно ли эти проблемы устранить в разумные сроки. Конечно же, в ходе беседы я задаю некоторые мелкие задачи, в основном из школьного курса математики: найти сумму или разность дробей, решить квадратное уравнение, вычислить результат некоего выражения и так далее.

Нередко в ответ на просьбу решить задачу я слышу от студента фразу, фрагмент которой вынесен в заголовок: "Я сейчас не помню, как это делается. Мне надо просто вспомнить формулу". За данной фразой, как следует из моего опыта, может притаиться опасное заблуждение, которому и посвящена эта статья.

А что не так? Забывать – это же нормально.

Забывание – это действительно неотъемлемое естественное свойство нашей памяти. Конечно, мы удивимся, если услышим историю о человеке, забывшем, к примеру, методику применения ложки за обеденным столом. Однако забыть, допустим, день рождения шапочного знакомого – в порядке вещей. Та информация, которую мы редко используем, имеет все шансы потускнеть, а потом и вовсе быть погребённой под толщей новых сведений.

В математике ситуация аналогична. Я сам, что уж греха таить, периодически забываю формулу понижения степени для \(\displaystyle{\cos^3{x}}\). Я помню примерную структуру этой формулы, могу её вывести при необходимости, а также знаю, из какого справочника можно взять её в готовом виде. Однако сразу написать эту формулу по памяти мне затруднительно. Но согласитесь, было бы странно, если подобные затруднения возникли бы, например, при вычислении банальной производной.

Частота использования – один из важнейших факторов запоминания. Среднестатистический школьник за годы изучения алгебры и геометрии решает тысячи примеров, в которых используются действия с дробями; сотни примеров, в которых решаются квадратные уравнения или используются формулы сокращённого умножения. Тем удивительнее услышать от вчерашнего школьника фразу "мне надо вспомнить формулу" в ответ на просьбу выполнить сложение двух дробей!

Само наличие этой фразы при обсуждении основ обычно говорит о том, что со школьной базой что-то очень сильно не так. Есть немалая вероятность, что упомянутые тысячи примеров прошли, фактически, мимо ученика, а пробелы в некоторых темах тянутся ещё со средней (или даже младшей) школы.

Может, всё-таки получится?

А всё-таки – может, не стоит сгущать краски? Не всё так плохо: заучим несколько формул – и можно приступать к университетскому курсу?

Давайте представим себе человека, который пытается "вспомнить" правило сложения дробей с разными знаменателями. Он читает о разложении знаменателей на множители, о наименьшем общем кратном знаменателей, и потихоньку приходит в уныние, так как ему же нужна просто формула, а авторы учебника за шестой класс подсовывают дополнительные термины.

Впрочем, наш герой не поддаётся отчаянию, и после небольшого поиска в интернете таки находит формулу, которая решит его проблемы без "лишних слов". Вот такую:

Формула работает, – студент тестирует её на простом примере и получает правильный результат:

Правда, на следующем примере начинаются шероховатости:

Этот результат хорошо бы сократить, но ведь сокращение – уже другая формула, поэтому полученная дробь остаётся неупрощённой. Впрочем, настоящий кошмар начинается, когда наш герой открывает задачник по математическому анализу и пытается применить найденную формулу к решению своих задач. Пусть, например, требуется вычислить такой предел:

Попытки сложить дроби, используя всё ту же формулу, приводят к громоздкому выражению, которое никак не хочет упрощаться. И немудрено – ведь тут уже используются иные формулы! В итоге предел остаётся без решения. А точнее, решение за студента выполняет нейросеть, плоды работы которой он выдаёт за свои.

В чём причина подобной неудачи? Дело в том, что формулы и правила в математике не изолированы друг от друга. Одна формула наслаивается на вторую, вторая – на третью, и все эти взаимосвязи нужно подкреплять решениями примеров, чтобы понять, как именно они работают. Когда из этой мозаики выпадают один-два элемента, то восстановить их несложно. Но когда нет самой основы, то восстанавливать просто не на чем.

И что же делать?

Для начала стоит сказать честно – речь не идёт о том, чтобы вспомнить. Нужно изучить. Скорее всего, быстрым этот процесс не будет, так как зачастую приходится восстанавливать сведения, упущенные сразу в нескольких классах школы.

Отмечу, что речь вовсе не идёт о том, чтобы изучать с нуля школьную программу. Отнюдь нет. Но те фрагменты школьного курса, которые жизненно необходимы для изучения высшей математики, придётся осваивать всерьёз, без скидок на "мне только вспомнить". Эти знания должны быть усвоены, должны быть отработаны на примерах, а затем перейти в навыки, которые можно применять для решения задач из курса высшей математики.

Реально ли это? Да, реально. С моей точки зрения, нет студентов, которые не могли бы освоить эти основы. Есть лишь две проблемы: нехватка времени и отсутствие навыков обучения. С нехваткой времени ситуация, в целом, очевидна – зачастую к репетитору обращаются, когда до экзамена остаётся недели две-три, и за это время успеть закрыть старые и новые пробелы практически невозможно. А вот отсутствие навыка учиться – проблема не менее серьёзная, но куда менее очевидная.

Время можно измерить. Но как измерить готовность к учёбе? Что вообще подразумевается под этой готовностью? Поясню: учиться – это значит работать над собой. Ключевое слово тут "работать". Не отвлекаться через пять минут работы на соблазны "пойти погулять, а доделать со свежими силами вечером", "сегодня вот уже хватит, а завтра со свежими силами" и так далее. Обучение – это такая же работа, как и иные. И если человек к такой работе не привык, то втянуться будет очень нелегко: потребуется и сила воли самого студента, и, возможно, контроль родителей. Репетитор в подобной ситуации может спроектировать образовательную траекторию, может выбрать оптимальный путь усвоения новых знаний, но без самостоятельной работы студента затея обречена на провал.

В заключение хотелось бы отметить, что не стоит впадать в крайности. Фраза "мне нужно повторить" не обязательно сигнализирует о неких фундаментальных проблемах. Но если "повторения" и "воспоминания" мелькают слишком часто, то это уже повод задуматься: а точно ли о повторении речь? И задуматься об этом желательно заранее, чтобы при необходимости успеть исправить ситуацию до экзамена или зачёта.