Помогите решить интеграл
Помогите решить интеграл
Помогите, пожалуйста, решить интеграл \(\int \left ( 1+x-\frac{1}{x} \right )\cdot e^{x+\frac{1}{x}} dx\)
Re: Помогите решить интеграл
Интеграл интересный, конечно
Во втором интеграле применяем метод интегрирования по частям, при этом
Возвращаясь к предыдущему равенству, будем иметь:
\(
\int\left(1+x-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx
=\int{e^{x+\frac{1}{x}}}dx+\int\left(x\cdot\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx
\)
\int\left(1+x-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx
=\int{e^{x+\frac{1}{x}}}dx+\int\left(x\cdot\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx
\)
Во втором интеграле применяем метод интегрирования по частям, при этом
\(
u=x;\;du=dx;\\
dv=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx=e^{x+\frac{1}{x}}d\left(x+\frac{1}{x}\right);\;v=e^{x+\frac{1}{x}}
\)
u=x;\;du=dx;\\
dv=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx=e^{x+\frac{1}{x}}d\left(x+\frac{1}{x}\right);\;v=e^{x+\frac{1}{x}}
\)
Возвращаясь к предыдущему равенству, будем иметь:
\(
\int\left(1+x-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx
=\int{e^{x+\frac{1}{x}}}dx+xe^{x+\frac{1}{x}}-\int{e^{x+\frac{1}{x}}}dx
=xe^{x+\frac{1}{x}}+C
\)
\int\left(1+x-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx
=\int{e^{x+\frac{1}{x}}}dx+xe^{x+\frac{1}{x}}-\int{e^{x+\frac{1}{x}}}dx
=xe^{x+\frac{1}{x}}+C
\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"