пределы7

[Вероника]

\(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}(1+cos3x)^{secx}\)
вообще не понимаю,как это решать

[Алексей]

А вам знакомо обозначение \(\sec x\), расположенное в степени?

[Вероника]

вот именно,что нет(
в первый раз вообще такое вижу

[Алексей]

Это тригонометрическая функция, которая называется "секанс" и определяется так: \(\sec x=\frac{1}{\cos x}\). Но для начала давайте сделаем следующее преобразование: введем новую переменную. Дело в том, что такие пределы, как этот, решаются с использованием второго замечательного предела. А у него есть две формы: в одной \(x\to 0\), а в другой \(x\to \infty\). У нас же \(x\to \frac{\pi}{2}\), т.е. желательно ввести новую переменную, чтобы она устремилась к нулю.

[Вероника]

и как это сделать?

[Алексей]

Очень просто Если \(x\to\frac{\pi}{2}\), то \(x-\frac{\pi}{2}\to 0\), т.е. новая переменная \(t=x-\frac{\pi}{2}\) и будет стремиться к нулю. Отсюда имеем: \(x=t+\frac{\pi}{2}\).


Останется только заменить \(\sec x=\frac{1}{\cos x}\) и подставить вместо \(x\) выражение \(t+\frac{\pi}{2}\).

[Вероника]

\(\lim_{x=t+\frac{\pi }{2}}(1+cos3(t+\frac{\pi }{2}))^{\frac{1}{cos(t+\frac{\pi }{2})}}=\lim_{x=t+\frac{\pi }{2}}(1+cos3t+cos\frac{3\pi }{2})^{\frac{1}{cost+cos\frac{\pi }{2}}}\)

[Алексей]

С первой частью вашей формулы я согласен: только с одной поправкой. Внизу предела будет просто \(t\to 0\), т.е.

\(\lim_{t\to 0}\left(1+\cos\left(3\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\right) \right)^{\frac{1}{\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)}}\)

А вот про это: \(\cos\left(3\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\right)=\cos 3t+\cos\frac{3\pi}{2}\) забудьте накрепко, - это очень печальная ошибка, так делать нельзя. Лучше просто раскройте скобки под косинусом вот тут: \(\cos\left(3\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\right)\) и запишите полученный предел. А потом его упростим

[Вероника]

немного не понимаю

[Алексей]

Это только кажется, - ведь вы уже раскрывали скобки чуть выше, только не совсем корректно Я вот что имею в виду:

\(\cos\left(3\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\right)=\cos\left(3t+\frac{3\pi}{2}\right)\)

Ну, и предел станет таким:

\(\lim_{t\to 0}\left(1+\cos\left(3t+\frac{3\pi}{2}\right) \right)^{\frac{1}{\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)}}\)

Теперь вам нужно применить формулы для тригонометрических функций. В конце этого документа есть таблица, которой и нужно воспользоваться. Например, согласно этой таблице \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=\sin\alpha\). Это значит, что \(\cos\left(3t+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin 3t\).

Вот и найдите формулу, чтобы упростить \(\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\). И предел тогда можно будет переписать