Задача №1688
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой \(y^2=2px\) и нормалью у ней, наклонённой к оси абсцисс под углом \(135^{\circ}\).
Для определённости полагаем \(p\gt{0}\), что вполне соответствует знаку параметра в каноническом уравнении параболы. Обозначим \(f(x,y)=y^2-2px\), тогда получим:
Пусть нормаль проведена в точке \((x_0;y_0)\). Угловой коэффициент нормали: \(k=-\frac{1}{y'}=-\frac{y_0}{p}\). Так как угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс, т.е. \(k=\tg{135^{\circ}}=-1\), то получим:
Так как \(y_0=p\), то \(x_0=\frac{y_{0}^{2}}{2p}=\frac{p}{2}\). Нормаль проведена в точке \(\left(\frac{p}{2};p\right)\). Уравнение нормали будет таким:
Найдём точки пересечения нормали и параболы:
Решая данную систему, мы придём к уравнению \(y^2+2py-3p^2=0\), откуда получим \(y_1=p\), \(y_2=-3p\). Таким образом, нормаль пересекает параболу в точках \(\left(\frac{p}{2};p\right)\) и \(\left(\frac{9p}{2};-3p\right)\).
