AMKbook.Net Задачи должны иметь решение

Задача №1014

Условие

Показать, что если любая хорда графика функции \(f(x)\) лежит выше стягиваемой ею дуги, то для всех \(x_1\neq{x_2}\) имеет место равенство \(\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\gt{f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}\).

Решение

Рассмотрим хорду, проходящую через точки \(\left(x_1;f(x_1)\right)\), \(\left(x_2;f(x_2)\right)\). Уравнение прямой, проходящей через эти точки, будет таким:

\[ y=\left(f(x_2)-f(x_1)\right)\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1}+f(x_1) \]

Так как любая хорда лежит выше стягиваемой ею дуги, то для любого значения \(x_1\le{x}\le{x_2}\) имеем:

\[ \left(f(x_2)-f(x_1)\right)\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1}+f(x_1)\ge{f(x)} \]

Равенство будет достигаться лишь в точках, в которых хорда пересекает график \(y=f(x)\), т.е. в точках \(\left(x_1;f(x_1)\right)\), \(\left(x_2;f(x_2)\right)\).

Значение \(x_0=\frac{x_1+x_2}{2}\) принадлежит отрезку \(\left[x_1;x_2\right]\), при этом \(x_0\neq{x_1}\), \(x_0\neq{x_2}\). Следовательно, подставляя \(x_0\) в указанное выше неравенство, получим:

\[ \left(f(x_2)-f(x_1)\right)\cdot\frac{x_0-x_1}{x_2-x_1}+f(x_1)\gt{f(x_0)}\\ \left(f(x_2)-f(x_1)\right)\cdot\frac{\frac{x_1+x_2}{2}-x_1}{x_2-x_1}+f(x_1)\gt{f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}\\ \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\gt{f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)} \]
Неравенство доказано.
Ответ:

Неравенство доказано.

Задачник №1Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №1Функции
Параграф №1Первоначальные сведения о функции
Задача №21