Пределы

[Снежана]

Вот следующий пример))
\(\lim_{x\to 0}\frac{\ x^2(e^x-e^{-x}) }{\ e^{x^3+1}-e}\)

[Алексей]

Ну, здесь опять неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Сделайте такой шаг: в числителе вынесите за скобки \(e^{-x}\), а в знаменателе вынесите за скобки число \(e\). И это будет почти ответ

[Снежана]

а тут тоже будет делиться ни -х при вынесении?

[Алексей]

а тут тоже будет делиться ни -х при вынесении?

Ну, когда мы выносим что-то, то мы делим оставшуюся часть на это "что-то". Выносим \(e^{-x}\) - значит, оставшееся выражение делим на \(e^{-x}\).

[Снежана]

так?
\(\lim_{x\to 0}\frac{\ x^2 e^{-x}{(e^{2x} -1)}}{\ e(1^{x^3+1}-1)}\)

[Снежана]

если в этот получившийся предел подставить вместо х 0 то получиться 1?

[Алексей]

Как всегда - почти так С числителем вопросов нету, а вот к знаменателю вопросы есть.

\(e^{x^3+1}-e=e^{x^3+1}-e^1=e\cdot\left( \frac{e^{x^3+1}}{e^1}-\frac{e}{e} \right)=e\cdot \left(e^{x^3+1-1}-1 \right)=e\cdot \left(e^{x^3}-1 \right)\)

Поправьте, пожалуйста, ваш результат, и перейдём к эквивалентностям - а от их один шаг до ответа

[Алексей]

если в этот получившийся предел подставить вместо х 0 то получиться 1?

Пока ещё нет, но уже скоро

[Снежана]

поправила
\(\lim_{x\to 0}\frac{\ x^2 e^{-x}{(e^{2x} -1)}}{\ e(e^{x^3}-1)}\)

[Алексей]

Вот, это уже хорошо. Теперь вновь вспоминаем эквивалентности. При \(\alpha\to 0\) мы имеем \(e^\alpha-1\sim \alpha\). Так как при \(x\to 0\) выражение \(2x\) тоже стремится к нулю, то \(e^{2x}-1\sim 2x\). Т.е., в числителе мы получим выражение \(x^2e^{-x}\cdot 2x\).

Попробуйте ту же самую логику применить к знаменателю.