Переход в полярную систему координат

[Виктория24]

В полярной системе координат построить кривую, заданную уравнением в декартовых координатах
(x^2+y^2)^2=2*(3*x^2+2*y^2)
x=r*cosf(фи)
у=r*sinf(фи)
подставила и получилось вот так ((r*cosf)^2+(r*sinf)^2)^2=2*(3*(r*cosf)^2+2*(r*sinf)^2)
(r^2(cos^2f+sin^2f)^2=2*(3*(r*cosf)^2+2*(r*sinf)^2)
r^4=2*(3*(r*cosf)^2+2*(r*sinf)^2)
и дальше при упрощении второй скобки у меня напрочь пропадает фи((( видимо что-то делаю не так

[Алексей]

Сейчас посмотрим, нужно прикинуть, что здесь выходит.

[Алексей]

То уравнение, что вы получили в конце, правильное, т.е.

\(r^4=2\cdot \left( 3\cdot(r\cos\varphi)^2+2\cdot(r\sin\varphi)^2 \right)\)

Если в правой части раскрыть скобки и вынести \(r^2\) за скобки, то получим:

\(r^4=2r^2\cdot \left( 3\cos^2\varphi+2\sin^2\varphi\right)\)

Далее, так как \(3\cos^2\varphi+2\sin^2\varphi=\cos^2\varphi+2\cos^2\varphi+2\sin^2\varphi=\cos^2\varphi+2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=\cos^2\varphi+2\), то:

\(r^4=2r^2\cdot \left(\cos^2\varphi+2\right)\)

Вроде бы \(\varphi\) никуда не исчезает

[Виктория24]

вот видимо в преобразованиях и ошиблась, а теперь чтобы график построить нужно просто углы разные вместо (фи) подставлять и можно ли график такой построить в программе? так и заводить (фи)?

[Алексей]

Тут с графиком есть один нюанс. Обычно в таких случаях сокращают на \(r^2\) обе части равенства, но здесь этого делать нельзя. Сейчас напишу чуть подробнее, потому что вопрос немаловажный.

[Алексей]

Итак, почему нельзя просто сокращать на \(r^2\)? Дело в том, что когда мы сокращаем на \(r^2\), т.е. делим на \(r^2\), то по умолчанию предполагаем, что \(r\neq 0\). И это логично, потому что на ноль делить нельзя.

Есть и еще один нюанс. Допустим, есть у меня равенство \(x^2=x\). Я взял и просто разделил его на \(x\). Получил при этом \(x=1\). Да, действительно, единица - решение исходного уравнения \(x^2=x\), так как \(1^2=1\). Но решением исходного уравнения является также \(x=0\). И именно это решение мы потеряли, сокращая на \(x\). Поэтому сокращать в таких случаях - не есть хорошо, лучше переносить всё в одну сторону равенства и выносить \(x\) за скобки:

\(x^2-x=0;\;\; x(x-1)=0; \;\; x_1=0; \; x_2=1.\)

Здесь мы не потеряли корень \(x=0\).

Если тут вопросов нету, то перейдём именно к вашему уравнению

[Виктория24]

да здесь ясно всё, я бы точно по быстренькому сократила на r^2))

[Виктория24]

то есть r^4-2*r^2(cos^2f+2)
r^2(r^2-2*(cos^2f+2)

будет так?

[Виктория24]

r^2(r^2-2cos2f-4)

[Алексей]

да здесь ясно всё, я бы точно по быстренькому сократила на r^2))

Помню, когда-то я на скорую руку записал \(\sqrt{x^2}=x\) вместо \(\sqrt{x^2}=|x|\), а потом два часа в маткаде искал ошибку С сокращениями и корнями торопиться нельзя

Итак, вернёмся к вашему уравнению. Вы верно сделали, что перенесли все слагаемые в левую часть и вынесли \(r^2\) за скобки:

\(r^4-2r^2\cdot \left(\cos^2\varphi+2\right)=0; \\ r^2\left(r^2-2\cdot \left(\cos^2\varphi+2\right) \right)=0\)

Это равенство возможно в двух случаях: или \(r=0\) или \(r^2=2\cdot \left(\cos^2\varphi+2\right)\). Причем эти равенства не включают друг друга. Т.е., ни при каком значении угла \(\varphi\) выражение \(2\cdot \left(\cos^2\varphi+2\right)\) не сможет равняться нулю, так как \(\cos^2\varphi +2 > 0\). Мы имеем два уравнения, которые задают нашу линию:

\(\left[\begin{aligned}&r=0; \\ & r^2=2\cdot \left(\cos^2\varphi+2\right). \end{aligned}\right.\)

Если тут вопросов нету, то перейдём к вопросу построения линии.