Пределы

[Снежана]

а точно, не внимательность подводит все понятно)) давайте пойдем дальше)

[Алексей]

Итак, для начала отмечу, что неопределенность никуда не делась. Т.е., если мы банально подставим \(t=0\), то в числителе будет \(t^2=0\), а в знаменателе \(\tg(\cos 0-1)=\tg(1-1)=\tg{0}=0\). Имеем всё ту же неопределенность \(\frac{0}{0}\). Если в пределе присутствует такая неопределенность и есть тригонометрические формулы, то это почти стопроцентная гарантия, что будет использован первый замечательный предел или следствия из него. А этот предел с косинусами не оперирует, поэтому от косинуса нужно перейти к синусу. Есть стандартная формула: \(\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}\). Попробуйте сюда вместо \(\alpha\) подставить \(\frac{t}{2}\).

[Снежана]

вот так?

[Алексей]

Точно. Если теперь умножить это дело на -2, то получим \(-2\sin^2\frac{t}{2}=-(1-\cos t)=\cos t-1\). Я просто к чему клоню: выражение под тангенсом в знаменателе можно смело заменять на \(-2\sin^2\frac{t}{2}\). Ну, и знак "минус" за тангенс тоже можно вынести. А дальше будут совсем простые эквивалентности, - вместо одних кусков формул будут иные. Давайте вы напишете, что у вас выходит после замены, а потом уже перейдем к простой части решения

[Снежана]

вставить вот сюда?

[Алексей]

Конечно Правда, минус желательно вынести:

\(\lim_{t\to 0}\frac{t^2}{\tg(\cos t-1)}=-\lim_{t\to 0}\frac{t^2}{\tg\left(2\sin^2\frac{t}{2}\right)}\)

А теперь уже перейдем к самому простому: к эквивалентностям. Сейчас я этого вопроса коснусь чуток подробнее.

[Снежана]

хорошо

[Алексей]

Итак, если \(\alpha\to 0\), то \(\tg\alpha\sim \alpha\). Грубо говоря, если в каком-то пределе под тангенсом стоит некое выражение, например, Волк, и этот Волк стремится к нулю, то знак тангенса можно смело выбрасывать, оставляя одного Волка. Например, так как \(t^2-4\to 0\) при \(t\to 2\), то \(\tg(t^2-4)\sim t^2-4\).

Так как при \(t\to 0\) имеем \(\sin^2\frac{t}{2}\to 0\), то:

\(-\lim_{t\to 0}\frac{t^2}{\tg\left(2\sin^2\frac{t}{2}\right)}=-\lim_{t\to 0}\frac{t^2}{2\sin^2\frac{t}{2}}\)

Если тут все ясно, то будем выбрасывать следующий кусок формулы

[Снежана]

да тут все ясно, я помню эти формулы ))

[Алексей]

Отлично, тогда пойдем далее. При \(\alpha\to 0\) имеем \(\sin\alpha\sim\alpha\).

Так как при \(t\to 0\) имеем \(\frac{t}{2}\to 0\), то попробуйте продолжить эту цепочку для синуса по аналогии с тангенсом