Пределы

[Снежана]

Спасибо за решение прошлого примера, преподаватель мне зачел))))
Вот мое следующее задание, помогите пожалуйста разобраться)))))Спасибо)))))

[Алексей]

То, что зачли предел - это хорошо Но с этим пределом есть вопрос: вы рассматривали эквивалентные бесконечно малые? Просто с использованием их свойств предел будет решаться гораздо быстрее, чем без эквивалентностей.

[Снежана]

да изучали)))

[Алексей]

Отлично. Тогда сначала, как и в предыдущем пределе, нужно сделать замену переменной. Т.е., ввести новую переменную t, чтобы она стремилась к нулю. Какую замену выбираете?

[Снежана]

к сожалению, я это вообще не понимаю... то есть вместо например Х поставить t??

[Алексей]

к сожалению, я это вообще не понимаю... то есть вместо например Х поставить t??

Если бы так просто Тогда бы математика в две строчки уложилась Тут вот в чем вопрос: если \(x\to 2\pi\), то \(x-2\pi \to 0\). Именно вот это выражение \(x-2\pi\) и нужно принимать в качестве новой переменной \(t=x-2\pi\). И теперь эта новая переменная будет стремиться к нулю. Ну, а если \(t=x-2\pi\), то \(x=?\)

[Снежана]

вот так получиться))

[Алексей]

вот так получиться))

Именно так Ну, а теперь ситуация простая: подставьте вместо \(x\) выражение \(2\pi +t\) в исходный предел, и это будет первое преобразование, которое приведет к ответу. Иными словами, нужно сделать замену переменной.

[Снежана]

так получиться?

[Алексей]

Почти Знаменатель - совершенно правильный. Только желательно сразу учесть, что \(\cos(2\pi +t)=\cos t\). А вот с числителем малость не то:

\((x-2\pi)^2=(2\pi+t-2\pi)^2=t^2\)

И такой момент: если мы ввели новую переменную, то она должна быть везде. Т.е., уже не \(x\to 2\pi\), а \(t\to 0\). И предел станет таким:

\(\lim_{t\to 0}\frac{t^2}{\tg(\cos t-1)}\)

Если тут вопросов нет, пойдем далее