Пределы

[Снежана]

Помогите пожалуйста решить)))

[Алексей]

Здесь нужно сделать замену, \(t=x-1\), т.е. \(x=t+1\). Если \(x\to 1\), то \(x-1\to 0\), т.е. \(t\to 0\). Итак, подставим вместо \(x\) выражение \(t+1\), при этом получим:

\(\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{\tg\pi x}=\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{(t+1)^2-(t+1)+1}-1}{\tg(\pi\cdot(t+1))}\)

Для начала раскройте скобки, а потом уже пойдём далее.

[Снежана]

Вот так?

[Алексей]

Логично Только всё-таки стоит учесть, что \(2t-t=t\), т.е. предел станет таким:

\(\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{t^2+t+1}-1}{\tg(\pi t+\pi)}\)

Единственное, что сразу можно упростить - это знаменатель. Так как \(\tg(\pi+\alpha)=tg\alpha\), поэтому \(\tg(\pi t+\pi)=tg(\pi t)\). Поэтому:

\(\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{t^2+t+1}-1}{\tg(\pi t+\pi)}=\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{t^2+t+1}-1}{\tg(\pi t)}\)

От неопределенности мы покамест еще не избавились, т.е. если подставить \(t=0\), то и в числителе и в знаменателе будут нули. Чтобы избавиться от неопределенности \(\frac{0}{0}\), домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, т.е. на выражение \(\sqrt{t^2+t+1}+1\):


\(\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{t^2+t+1}-1}{\tg(\pi t)}=\lim_{t\to 0}\frac{(\sqrt{t^2+t+1}-1)(\sqrt{t^2+t+1}+1)}{\tg(\pi t)\cdot (\sqrt{t^2+t+1}+1)}\)

Попробуйте раскрыть скобки в числителе, используя формулу \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

[Снежана]

сделала)

[Алексей]

И это верно Кстати, формулы можете набирать прямо на форуме, т.е. без картинок, сразу - просто поместите текст формулы между тегами [tеx][/tеx].

Итак, что с пределом: мы избавились от корней в числителе. То выражение в с корнями, которое осталось в знаменателе, не стремится к нулю, - про него вообще можно забыть до конца решения.
Теперь поговорим о знаменателе. Там находится \(\tg(\pi t)\), который стремится к нулю. Есть следствие из первого замечательного предела, согласно которому \(\lim_{\alpha\to 0}\frac{\tg\alpha}{\alpha}=1\). У нас в роли \(\alpha\) выступает выражение \(\pi t\). Чтобы совсем подогнать наш случай под следствие из первого замечательного предела, домножим и разделим на \(\pi t\) в знаменателе:

\(\lim_{t\to 0}\frac{t^2+t}{\tg(\pi t)\cdot (\sqrt{t^2+t+1}+1)}=\lim_{t\to 0}\frac{t^2+t}{\frac{\tg(\pi t)}{\pi t}\cdot \pi t \cdot (\sqrt{t^2+t+1}+1)}\)

Согласитесь, что сделанное преобразование не изменило знаменатель: ведь мы на что поделили, на то сразу и домножили. Теперь попробуйте сделать так: вынести \(t\) за скобки в числителе и сократить с \(t\) в знаменателе. Константу \(\pi\) можно сразу вынести за знак предела.

[Снежана]

не получилось не картинкой:( так?)

[Алексей]

Именно так Теперь смотрите: мы знаем, что \(\lim_{t\to 0}\frac{\tg(\pi t)}{\pi t}=1\). Теперь, если вынести \(\pi\) за знак предела, то получим следующее:

\(\frac{1}{\pi}\cdot\lim_{t\to 0}\frac{t+1}{\frac{\tg(\pi t)}{\pi t} \cdot (\sqrt{t^2+t+1}+1)}=\frac{1}{\pi}\cdot \frac{0+1}{1 \cdot (\sqrt{0^2+0+1}+1)}\)

Упростите выражение, и ответ ваш

[Снежана]

это ответ?))

[Алексей]

Да, это ответ. Кстати, насчет формул: если захотите, можете глянуть этот раздел. На форуме используется система LaTex, - если когда-нибудь будете делать научные публикации, то пригодится