Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му виду
-
- Сообщения: 81
- Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56
Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му виду
Привести уравнение кривой второго порядка f(x,y)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой.
уравнение кривой x^2+2*y^2-12*y+10=0, уравнение прямой x+y-3=0
x^2+2*y^2-12*y+10=0
x^2+2*(y^2-6*y+9)-18+10=0
x^2+2*(y-3)^2-8=0
x^2+2*(y-3)^2=8
(x^2)/2+(y-3)^2=4
(x^2)/8+((y-3)^2)/4=1 эллипс
нужно теперь перенести начало координат, а я не очень поняла как это сделать.
найдём точки пересечения кривой и прямой. для этого решим систему уравнений:
(x^2)/8+((y-3)^2)/4=1
x+y-3=0
корни получились у1=(18-sqrt96)/6
y2=(18+sqrt96)/6
x1=3-(18-sqrt96)/6
x2=3-(18+sqrt96)/6 какие-то совсем страшные
и необходимо построить график, у меня получился вот такой
Помогите разобраться
уравнение кривой x^2+2*y^2-12*y+10=0, уравнение прямой x+y-3=0
x^2+2*y^2-12*y+10=0
x^2+2*(y^2-6*y+9)-18+10=0
x^2+2*(y-3)^2-8=0
x^2+2*(y-3)^2=8
(x^2)/2+(y-3)^2=4
(x^2)/8+((y-3)^2)/4=1 эллипс
нужно теперь перенести начало координат, а я не очень поняла как это сделать.
найдём точки пересечения кривой и прямой. для этого решим систему уравнений:
(x^2)/8+((y-3)^2)/4=1
x+y-3=0
корни получились у1=(18-sqrt96)/6
y2=(18+sqrt96)/6
x1=3-(18-sqrt96)/6
x2=3-(18+sqrt96)/6 какие-то совсем страшные
и необходимо построить график, у меня получился вот такой
Помогите разобраться
- Вложения
-
- uhfabr.png (8.9 КБ) 14468 просмотров
Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в
Поможем Начнём с того, что уравнение вы преобразовали совершенно правильно. Т.е., я имею в виду преобразование \(x^2+2y^2-12y+10=0\) к виду \(\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1\). Кстати, чтоб проверить это, я сначала просмотрел ваше решение (и убедился, что оно на первый взгляд верное), а потом просто построил в AGrapher две линии по уравнениям \(x^2+2y^2-12y+10=0\) и \(\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1\). Линии совпали, - значит, всё сделано верно.
Сейчас проверю пересечение эллипса с прямой, а потом пару фраз насчёт переноса координат.
Сейчас проверю пересечение эллипса с прямой, а потом пару фраз насчёт переноса координат.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в
Теперь насчёт точки пересечения эллипса и прямой. Опять-таки, система уравнений здесь действительно необходима. В вашем случае есть два пути. Рассмотреть систему \(\left\{\begin{aligned} & x^2+2y^2-12y+10=0;\\& x+y-3=0. \end{aligned}\right.\) или же систему \(\left\{\begin{aligned} &\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1;\\ & x+y-3=0. \end{aligned}\right.\). Честно говоря, в общем случае я бы избрал первый вариант, но уравнение прямой \(x+y-3=0\) очень удачно вписывается в уравнение эллипса, поэтому обратимся к системе
Выражая \(y=3-x\) из второго уравнения и подставляя в первое уравнение, получим:
Ну и, соответственно, из полученного уравнения имеем два значения х, т.е. \(x_1=-\sqrt{\frac{8}{3}}=-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) и \(x_2=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Для вторых координат точек пересечения будем иметь: \(y_1=3-x_1=3+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) и \(y_2=3-x_2=3-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).
Короче говоря, есть две точки пересечения эллипса и прямой: \(\left(-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}};\; 3+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\) и \(\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}};\; 3-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\). Если есть вопросы - давайте
\(\left\{\begin{aligned} &\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1;\\&x+y-3=0. \end{aligned}\right.\)
Выражая \(y=3-x\) из второго уравнения и подставляя в первое уравнение, получим:
\(\frac{x^2}{8}+\frac{(3-x-3)^2}{4}=1;\\ \frac{x^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1; \\ \frac{x^2}{8}+\frac{2x^2}{8}=1;\\ \frac{3x^2}{8}=1; \;\; x^2=\frac{8}{3}.\)
Ну и, соответственно, из полученного уравнения имеем два значения х, т.е. \(x_1=-\sqrt{\frac{8}{3}}=-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) и \(x_2=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Для вторых координат точек пересечения будем иметь: \(y_1=3-x_1=3+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) и \(y_2=3-x_2=3-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).
Короче говоря, есть две точки пересечения эллипса и прямой: \(\left(-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}};\; 3+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\) и \(\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}};\; 3-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\). Если есть вопросы - давайте
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
-
- Сообщения: 81
- Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56
Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в
по точкам пересечения вопросов нет, а что по поводу переноса начала координат?
Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в
Насчёт систем координат... А вам сама идея переноса системы координат понятна или всё же лучше её проиллюстрировать?Виктория24 писал(а):по точкам пересечения вопросов нет, а что по поводу переноса начала координат?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
-
- Сообщения: 81
- Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56
Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в
да было бы лучше с графиком
Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в
Ок. Напишу пару вводных слов, чтобы была ясна сама идея. Дело в том, что системы координат - это как язык. Например, вы можете назвать "яблоко" на русском, английском, немецком и иных языках, но от этого яблоко не перестанет быть яблоком Только системы координат - это язык, который описывает положение точки в пространстве. Системы координат могут меняться, но точка будет на месте. Поясню на примере. Вот, допустим, у меня была точка \(M(3;4)\) в обычной декартовой системе координат Oxy:
А теперь я подвину ось Ox на две единицы вверх (при этом получу новую ось Ox'), а ось Oy - на единицу влево (при этом получу новую ось Oy'). Синим цветом показана старая система координат Oxy. Точку М, заметьте, я не двигал, но координаты её изменились:
Теперь, в новой системе Ox'y' координаты точки M такие: (4;2).
А линия, и эллипс в том числе - это множество точек, связанных неким условием. Вопрос лишь в том, в какой системе координат уравнение, которое выражает это условие, будет наиболее простым.
Если тут всё очевидно, то перейдём к эллипсу. Если есть вопросы - давайте
А теперь я подвину ось Ox на две единицы вверх (при этом получу новую ось Ox'), а ось Oy - на единицу влево (при этом получу новую ось Oy'). Синим цветом показана старая система координат Oxy. Точку М, заметьте, я не двигал, но координаты её изменились:
Теперь, в новой системе Ox'y' координаты точки M такие: (4;2).
А линия, и эллипс в том числе - это множество точек, связанных неким условием. Вопрос лишь в том, в какой системе координат уравнение, которое выражает это условие, будет наиболее простым.
Если тут всё очевидно, то перейдём к эллипсу. Если есть вопросы - давайте
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
-
- Сообщения: 81
- Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56
Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в
в общем и целом ясно
Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в
Отлично. Тогда насчёт эллипса. Дело в том, что наиболее простым (или каноническим) уравнение эллипса будет в такой системе координат, в которой центр эллипса совпадает с началом координат (точкой (0;0)); большая ось (т.е. \(A_1A_3\)) лежит на прямой Ох; фокусы (\(F_1\) и \(F_2\)) симметричны относительно начала координат:
В вложении я добавил документ с краткими характеристиками кривых второго порядка: эллипса, гиперболы и параболы. Но вернёмся к эллипсу. Итак, возьмем эллипс \(\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1\). Нужно перенести оси координат таким образом, чтобы уравнение его стало каноническим. Т.е., чтобы уравнение приняло вид \(\frac{x'^2}{8}+\frac{y'^2}{4}=1\). Заметьте, что внешне мы всего лишь заменили \(x'=x\) и \(y'=y-3\). Но внутренняя "кухня" такой замены - это перенос системы координат. И если в старой системе координат центр эллипса был в точке (0;3), то в новой системе координаты этой точки станут такими: \(x'=0\), \(y'=y-3=3-3=0\). Т.е. в новой системе координат центр эллипса совпал с началом координат, точкой (0;0). Сейчас попробую это изобразить в AGrapher.
В вложении я добавил документ с краткими характеристиками кривых второго порядка: эллипса, гиперболы и параболы. Но вернёмся к эллипсу. Итак, возьмем эллипс \(\frac{x^2}{8}+\frac{(y-3)^2}{4}=1\). Нужно перенести оси координат таким образом, чтобы уравнение его стало каноническим. Т.е., чтобы уравнение приняло вид \(\frac{x'^2}{8}+\frac{y'^2}{4}=1\). Заметьте, что внешне мы всего лишь заменили \(x'=x\) и \(y'=y-3\). Но внутренняя "кухня" такой замены - это перенос системы координат. И если в старой системе координат центр эллипса был в точке (0;3), то в новой системе координаты этой точки станут такими: \(x'=0\), \(y'=y-3=3-3=0\). Т.е. в новой системе координат центр эллипса совпал с началом координат, точкой (0;0). Сейчас попробую это изобразить в AGrapher.
- Вложения
-
- Кривые.rar
- (61.21 КБ) 490 скачиваний
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
-
- Сообщения: 81
- Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56
Re: Привести уравнение кривой второго порядка к канонич-му в
ну вот теперь всё прояснилось благодарю