Исследовать функцию и построить график

[Виктория24]

Исследовать функцию Провести полное исследование функции и построить ее график
х^3-4х/ 5-3х^2

План исследования
1. Область допустимых значений; точки разрыва и их характер, вертикальные асимптоты графика.
2. Точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Симметрия графика функции (четность, нечетность).
4. Поведение функции при и горизонтальные асимптоты графика функции.
5. Наклонные асимптоты графика функции.
6. Исследование функции с помощью первой производной: интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции.
7. Исследование функции с помощью второй производной: участки выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба.
8. Анализ полученных результатов исследования и построение сводной таблицы.
9. Эскиз графика.
10. Построение на плоскости точек пересечения графика с координатными осями, точек экстремумов и перегиба, асимптот графика функции.
11. Построение графика функции.

[Алексей]

Давайте начнём с области определения. Из всей числовой прямой нужно исключить точки, в которых равен нулю знаменатель., т.е. точки, для которых

\(5-3x^2=0; \;x^2=\frac{5}{3};\;\; x_1=-\sqrt{\frac{5}{3}}, \;\; x_2=\sqrt{\frac{5}{3}}\)

Вот эти точки и "выкалывайте" из числовой оси У вас так изначально получилось?

[Виктория24]

да, так и получилось. точка разрыва х= корень квадратный из 5/3 вертикальная ассимптота х= корень квадратный из 5/3
точки пересечения с осями координат: с Oy y=0, с Ox x=0, x=-2, x=2

[Алексей]

Отлично, только точек разрыва две. Т.е., область определения \(x\in \left(-\infty; -\sqrt{\frac{5}{3}} \right)\cup \left(-\sqrt{\frac{5}{3}}; \sqrt{\frac{5}{3}} \right)\cup \left(\sqrt{\frac{5}{3}}; +\infty \right)\). Ну, и асимптот будет две, так как каждая точка разрыва - второго рода.

[Алексей]

Насчет точек пересечения: лучше записывать с двумя координатами. Например, точка пересечения с осью Оу \((0;0)\). Точки пересечения с осью Ох: \((0;0)\), \((-2;0)\), \((2;0)\).

Исследование на четность у вас получилось?

[Виктория24]

у меня получилось, что функция не является четной и является нечетной т.к f(х) не равно f(-x) и -f(x)= f(-х)

[Алексей]

Тут я бы поспорил Здесь получается примерно так:

\(f(-x)=\frac{(-x)^3-4\cdot (-x)}{5-3\cdot (-x)^2}=\frac{-x^3+4x}{5-3x^2}=-\frac{x^3-4x}{5-3x^2}=-f(x)\)

Т.е. функция будет таки нечетной, и график её симметричен относительно нуля. Это, между прочим, значительно упрощает построение. Если с четностью вопросов нету, то можно перейти к асимптотам

[Виктория24]

С пределами у меня совсем плохо Получилось, что при х стремится к + бесконечности предел равен 0. а при х стремящемся к - бесконечности предел - бесконечность.

[Алексей]

Здесь не так все сложно, как кажется. Уравнение касательной будем искать в форме \(y=kx+b\).

\(k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-4x}{x(5-3x^2)}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-4x}{5x-3x^3}\)

В этом случае нужно разделить и числитель и знаменатель на старшую степень \(x\), т.е. на \(x^3\). Тогда мы получим:

\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-4x}{5x-3x^3}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}-\frac{4x}{x^3}}{\frac{5x}{x^3}-\frac{3x^3}{x^3}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{4}{x^2}}{\frac{5}{x^2}-3}=\frac{1-0}{0-3}=-\frac{1}{3}\)

Если есть вопросы по этим преобразованиям - давайте

[Виктория24]

а b чему равно будет здесь тогда? и это получается единственная ассимптота?