(1) \(\Rightarrow:\) Пусть тогда \(\lim_{n \to \infty}x_n = A \in \mathbb{R}.\)
Тогда по теореме о пределе подпоследовательности каждая подпоследовательность последовательности \(\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) имеет тот же предел. То есть \(\left \{ A \right \}\) множество частичных пределов последовательности \(\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty}.\)
По теореме о пределе и ограничености последовательность \(\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) ограничена.
(2) \(\Leftarrow:\) Пусть тогда последовательность \(\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) имеет один частичный предел \(A \in \mathbb{R^{*}}\) и она ограничена.
Тогда \(\exists m, k \in \mathbb{R}\forall n \in \mathbb{N}: m \leq x_n \leq k.\)
Тогда по теореме о пределе и упорядочении \(m \leq \lim_{n \to \infty}x_n = A \leq k \Rightarrow A \in \mathbb{R}.\)
То есть последовательность \(\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) сходится.