(1) Из-за переодичности функции cos достаточно рассмотреть значения: \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \cos\pi = -1, \cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}, \cos2\pi = 1.\)
Формально.
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}\cos\frac{\pi(6n - 5)}{3} = \lim_{n \to \infty}\cos(2\pi n - \frac{5\pi}{3}) = \lim_{n \to \infty}\cos(2\pi n)\cos(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2}; \lim_{n \to \infty}\cos 2\pi n = 1, \lim_{n \to \infty}\cos \pi n = -1.\)
Для подпоследовательности с номерами 2,4,8,10,14,16,20,22,... пределом будет \(-\frac{1}{2}.\)
В итоге \(\left \{ \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -1, 1 \right \}\) множество частичных пределов данной последовательности, \(\varlimsup_{n \to \infty} x_n = 1, \varliminf_{n \to \infty}x_n = -1.\)
(2) Выполнено \(\lim_{n \to \infty}(-1)^{2n}\frac{4n+1}{2n} = \lim_{n \to \infty}\frac{4n+1}{2n} = 2, \lim_{n \to \infty}(-1)^{2n-1}\frac{4n-1}{2n - 1} = -2.\)
По номеру 114 \(\left \{ 2, -2 \right \}\) множество частичных пределов данной последовательности, \(\varlimsup_{n \to \infty} x_n = 2, \varliminf_{n \to \infty}x_n = -2.\)
(3) Для начала рассмотрим множество значений последовательности \(\left \{ \cos \frac{2\pi n}{3} \right \}_{n=1}^{\infty}.\) В него входят только значения \(-\frac{1}{2}, 1.\)
При этом значение 1 достигается только при номерах кратных трем.
По теореме о пределе геометрической последовательности получаем \(\lim_{n \to \infty}(1.5 \cos \frac{6\pi n}{3})^{3n} = \lim_{n \to \infty}((1.5)^3)^n = +\infty.\)
Для всех натуральных чисел(возрастающая их последовательность), которые не делятся на три, по теореме о пределе геометрической последовательности выполнено \(\lim_{n \to \infty}(1.5 \cos \frac{2\pi n}{3})^{n} = \lim_{n \to \infty}(-0.75)^{n} = 0.\)
В итоге \(\left \{ 1, 0 \right \}\) множество частичных пределов данной последовательности, \(\varlimsup_{n \to \infty} x_n = 1, \varliminf_{n \to \infty}x_n = 0.\)
(4) У данной последовательности в любой окрестности только 1 и 0 содержится бесконечное число членов.
Поэтому \(\left \{ 1, 0 \right \}\) множество частичных пределов данной последовательности, \(\varlimsup_{n \to \infty} x_n = 1, \varliminf_{n \to \infty}x_n = 0.\)