(1) Пусть \(\lim_{n \to \infty}x_n = +\infty.\)
Зволим \(h \in \mathbb{R}, h > 0\) произвольным образом.
Тогда \(\exists n_1 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_1: x_n > h.\)
Утверждаем, что последовательность \(\left \{ \sum_{k=1}^{n}x_k \right \}_{n=1}^{\infty}\) неограничена сверху.
Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_1: x_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1}x_k - \sum_{k=1}^{n}x_k > h > 0 \Rightarrow \sum_{k=1}^{n+1}x_k > \sum_{k=1}^{n}x_k.\)
То есть последовательность \(\left \{ \sum_{k=1}^{n}x_k \right \}_{n=n_1 }^{\infty}\) возрастает. Тогда по теореме о пределе монотонной последовательности существует ее предел \(A \in \mathbb{R}\cup \left \{+\infty \right \}.\)
Будем предполагать, что \(A \in \mathbb{R}.\)
Тогда по теореме Больцано - Коши \(\exists n_2 \in \mathbb{N}\forall m, n \in \mathbb{N}, m > n \geq n_2: |\sum_{k=1}^{m}x_k - \sum_{k=1}^{n}x_k| < h.\)
Положим \(n_0 = max\left \{ n_1, n_2 \right \}.\)
Тогда \(\forall m, n \in \mathbb{N}, m > n \geq n_0: |\sum_{k=1}^{m}x_k - \sum_{k=1}^{n}x_k| = |\sum_{k=n+1}^{m}x_k | = \sum_{k=n+1}^{m}x_k > (m - n)h > h.\)
Это противоречит Б-Ц условию для сходящейся последовательности.
В итоге \(A = +\infty.\)
Так как начиная с \(n_1\) члена члены последовательностей \(\left \{ \sum_{k=1}^{n}x_k \right \}_{n=n_1 }^{\infty}, \left \{ \sum_{k=1}^{n}x_k \right \}_{n=1}^{\infty}\) совпадают, то по теореме о инвариантности \(\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}x_k = A.\)
Это означает, что супремум множества членов последовательности \(\left \{ \sum_{k=1}^{n}x_k \right \}_{n=1}^{\infty}\) равен \(+\infty.\) То есть последовательность \(\left \{ \sum_{k=1}^{n}x_k \right \}_{n=1}^{\infty}\) неограничена сверху.
(2) Пусть \(\lim_{n \to \infty}x_n = -\infty.\)
Утверждаем, что последовательность \(\left \{ \sum_{k=1}^{n}x_k \right \}_{n=1}^{\infty}\) неограничена снизу.
Аналогично.