(1) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = 2n, y_n = n.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}y_n = +\infty.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_n - y_n = \lim_{n \to \infty}2n - n = \lim_{n \to \infty}n = +\infty\).
(2) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = n+1, y_n = n.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}y_n = +\infty.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_n - y_n = \lim_{n \to \infty}n+1 - n = \lim_{n \to \infty}1 = 1\).
(3) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = n, y_n = 2n.\)
Тогда \(\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}y_n = +\infty.\)
Выполнено \(\lim_{n \to \infty}x_n - y_n = \lim_{n \to \infty}n - 2n = \lim_{n \to \infty}-n = -\infty\).
(4) Пусть \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n = n + (-1)^n, y_n = n.\)
Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: (-1)^n \geq -1.\)
Тогда \(\forall n \in \mathbb{N}: n + (-1)^n \geq n - 1.\)
По теореме о двух пределах \(\lim_{n \to \infty}n - 1 = +\infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty}n + (-1)^n = +\infty.\) Либо можно воспользоваться результатом, полученным в номере 86.
Но \(\lim_{n \to \infty}x_n - y_n = \lim_{n \to \infty}(-1)^n\) не существует.
Доказательство этого факта мы приводили в 46.