Сходимость ряда, признак сравнения

[kristalliks]

Доброй ночи!
Помогите, пожалуйста, исследовать на сходимость ряд:
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n+1}{n^3}\).
Нужно именно по признаку сравнения.
Я воспользовалась формулой бинома Ньютона и получила следующее:
\(2^n=(1+1)^n=1+n+\frac{n(n-1)}{2}+...>1+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{2},\)
\(2^n+1>2+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{2}\)
\(\frac{2^n+1}{n^3}>\frac{2+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{2}}{n^3}=\frac{4+n+n^2}{2n^3}\).
Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4+n+n^2}{2n^3}\) расходится по предельному признаку сравнения вместе с рядом \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\), следовательно, и исходный ряд по признаку сравнения расходится.
Но мне это решение кажется слишком грузным, может быть, есть способ проще?

[Алексей]

Полученное неравенство мне видится сомнительным. Например, подставляя в неравенство \(2^n\gt 1+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{2}\) значения \(n=1\), \(n=2\) мы получим неверный результат. В доказательстве ошибка.


Из формулы бинома получим \(2^n \gt \frac{n(n-1)}{2}\), т.е.

\(
2^n + 1 \gt 2^n \gt \frac{n(n-1)}{2}
\)

А это уже даёт нам такое ограничение общего члена заданного ряда:

\(
\frac{2^n+1}{n^3}
\gt
\frac{n-1}{2n^2}
\)

Далее можно использовать предельный признак, а можно рассудить и иначе:

\(
v_n = \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}
\)

Общий член \(v_n\) есть разность общих членов сходящегося и расходящегося рядов, поэтому ряд с общим членом \(v_n\) расходится. Значит, расходится и ряд с общим членом \(\frac{1}{2}v_n\).

[kristalliks]

Поняла!
Да, в неравенстве допущена ошибка, правильнее будет использовать знак \(\geq\).
Большое Вам спасибо!