(1) Воспользуемся результатом, полученным в номере 72.
То есть надо доказать, что \(\lim_{n \to \infty}|\frac{\frac{1}{x_n}}{\frac{1}{x_{n+1}}}| = \lim_{n \to \infty}|\frac{x_{n+1}}{x_n}| > 1.\)
Доказав это, получим \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{x_n} = 0.\)
Учитывая то, что \(\forall n \in \mathbb{N}: x_n > 0,\) получим \(\lim_{n \to \infty}x_n = +\infty.\)
Итак, по теореме об арифметике пределов для последовательностей \(\lim_{n \to \infty}|\frac{x_{n+1}}{x_n}| = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+2)(n+3)...(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)2n}{n^n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{(2n+1)(2n+2)n^n}{(n+1)^{n+2}} = \lim_{n \to \infty}\frac{(2 + \frac{1}{n})(2 + \frac{2}{n})}{(1 + \frac{1}{n})^2} \cdot \lim_{n \to \infty}\frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^n} = \frac{4}{e} \geq \frac{4}{3} > 1.\)
(2) Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: n! \geq (\frac{n}{3})^n.\)
Это высказывание уже было доказано в номере 97. В этом же номере указана теорема о двух пределах, которая будет использована ниже.
Тогда \(\forall n \in \mathbb{N}: \sqrt[n]{n!} \geq \sqrt[n]{(\frac{n}{3})^n} = \frac{n}{3}.\)
По теореме об арифметике пределов для последовательностей \(\lim_{n \to \infty}\frac{n}{3} = +\infty.\)
Следовательно, по теореме о двух пределах \(\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n!} = \infty.\)
(3) Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: (1 + \frac{1}{n})^n \geq 2.\)
Следовательно, \(\forall n \in \mathbb{N}: (1 + \frac{1}{n})^{n^2} \geq 2^n.\)
Выполнено \(|2| > 1,\) тогда по теореме о пределе геометрической последовательности \(\lim_{n \to \infty}2^n = +\infty.\)
В итоге по теореме о двух пределах \(\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n^2} = +\infty.\)
(4) По неравенству Бернулли \(\forall n \in \mathbb{N}: (1 + \frac{1}{2^n})^{n!} \geq 1 + \frac{n!}{2^n}.\)
В примере 13 на странице 132 было доказано, что \(\lim_{n \to \infty}\frac{2^n}{n!} = 0.\)
Учитывая, что \(\forall n \in \mathbb{N}: \frac{2^n}{n!} > 0,\) получим \(\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{2^n} = +\infty.\)
В итоге по теореме об арифметике пределов для последовательностей \(\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{2^n} + 1 = +\infty.\)
А значит, по теореме о двух пределах \(\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{2^n})^{n!} = +\infty.\)
(5) Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: \frac{1}{n}(1 + \sqrt{2} + ... + \sqrt{n}) \geq \frac{1}{n}\frac{n}{2}\sqrt{\frac{n}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{n}{2}}.\)
По теореме об арифметике пределов и по теореме о пределе последовательности под корнем
\(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n}{2}} = \frac{+\infty}{2\sqrt{2}} = +\infty.\)
В итоге по теореме о двух пределах \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}(1 + \sqrt{2} + ... + \sqrt{n}) = +\infty.\)