Пусть \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}, \left \{ b_n \right \}_{n=1}^{\infty}\) - последовательности вещественных чисел, \(\lim_{n \to \infty}b_n = +\infty\), \(\exists n_0 \in \mathbb{N}\forall n \geq n_0: a_n \geq b_n.\) Тогда \(\lim_{n \to \infty}a_n = +\infty.\)
(1) Докажем, что \(\forall n \in \mathbb{N}, n \geq 4: n! \geq n^2.\)
Математической индукцией по n.
(a) Пусть n = 4. Тогда \(4! = 24 \geq 4^2 = 16.\)
(b) Пусть \(n \in \mathbb{N}, n \geq 4, n! \geq n^2.\)
Тогда \((n + 1)! = n!(n+1) \geq n^2(n+1) \geq (n + 1)(n+1) = (n+1)^2.\)
По доканному неравенству и по теореме о двух пределах \(\lim_{n \to \infty}\sqrt{n!} = +\infty.\)
(2) Докажем по определению.
Зволим \(k \in \mathbb{R}, k > 0\) произвольным образом.
Положим \(n_0 = [(\log_2 k)^2] + 2.\)
Тогда \(\forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0: n > (\log_2 k)^2 + 1 \Rightarrow \sqrt{n - 1} > |\log_2 k| \Rightarrow \log_2 2^{\sqrt{n-1}} > \log_2 k \Rightarrow 2^{\sqrt{n-1}} > k.\)
Следовательно, \(\lim_{n \to \infty}2^{\sqrt{n-1}} = +\infty.\)
(3) Пусть \(a \in \mathbb{R}, a > 1.\)
Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2: \frac{n^2}{\log_a (n + 1)} \geq \frac{n + 1}{\log_a (n + 1)}.\)
По теореме о пределе подпоследовательности \(\lim_{n \to \infty}\frac{n + 1}{\log_a (n + 1)} = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{\log_a (n)} = +\infty.\)
Следовательно, по теореме о двух пределах \(\frac{n^2}{\log_a (n + 1)} = +\infty.\)
(4) Выполнено \(\forall n \in \mathbb{N}: n! \geq (\frac{n}{3})^n.\)
Математической индукцией по n.
(a) Пусть n = 1. Тогда \( 1! = 1 \geq \frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^1.\)
(b) Пусть \(n \in \mathbb{N}, n! \geq (\frac{n}{3})^n.\)
Перед тем, как продолжать, докажем неравенство \(\forall n \in \mathbb{N}: \frac{1}{3}(\frac{n+1}{3})^n \leq (\frac{n}{3})^n.\)
Итак, \(\frac{1}{3}(\frac{n+1}{3})^n \leq (\frac{n}{3})^n \Leftarrow \frac{n+1}{3\sqrt[n]{3}} \leq \frac{n}{3} \Leftarrow \frac{n + 1}{n} \leq \sqrt[n]{3} \Leftarrow (1 + \frac{1}{n})^n \leq 3.\)
То есть мы вышли из истинного утверждения и пришли к нужному. Число Эйлера
Тогда из доказанного выше \( (n+1)! = (n + 1)n! \geq (n + 1)(\frac{n}{3})^n \geq (n+1)\frac{(n+1)^n}{3^{n+1}} = (\frac{n+1}{3})^{n+1}.\)
Функция \(\ln\) возрастает.
Поэтому \(\forall n \in \mathbb{N}: \frac{\ln n!}{n} \geq \frac{n\ln \frac{n}{3}}{n} = \ln \frac{n}{3} = \ln n - \ln 3.\)
В номере 79 было доказано, что \(\lim_{n \to \infty}\ln n - \ln 3 = +\infty.\)
В итоге по теореме о двух пределах получаем \(\lim_{n \to \infty}\frac{\ln n!}{n} = +\infty.\)
