(1) Рассмотрим все случаи для p и q.
(a) Пусть \(p, q \in \mathbb{N}, p < q; a_0, b_0 \in \mathbb{R}, a_0 \neq0, b_0 \neq 0.\)
Тогда по теореме об арифметике пределов для последовательностей \(\lim_{n \to \infty}\frac{a_0n^p + a_1n^{p-1} + ... + a_{p-1}n + a_p}{b_0n^q + b1n^{q-1} + ... + a_{q-1}n^q + a_q} = \lim_{n \to \infty}\frac{a_0n^{p - q} + a_1n^{p - q -1} + ... + a_{p-1}n^{1 - q} + \frac{a_p}{n^q}}{b_0 + b1n^{-1} + ... + a_{q-1}n^{1 - q} + \frac{a_q}{n^q}} = \frac{a_0 \cdot 0 + a_1\cdot 0 + ... + a_{p-1} \cdot 0 + a_p \cdot 0}{b_0 + b_1 \cdot 0 + ... + a_{q - 1} \cdot 0 + a_q \cdot 0} = 0.\)
(b) Пусть \(p, q \in \mathbb{N}, p = q; a_0, b_0 \in \mathbb{R}, a_0 \neq0, b_0 \neq 0.\)
Тогда по теореме об арифметике пределов для последовательностей \(\lim_{n \to \infty}\frac{a_0n^p + a_1n^{p-1} + ... + a_{p-1}n + a_p}{b_0n^q + b1n^{q-1} + ... + a_{q-1}n^q + a_q} = \lim_{n \to \infty}\frac{a_0 + a_1n^{-1} + ... + a_{p-1}n^{1 - p} + \frac{a_p}{n^p}}{b_0 + b1n^{-1} + ... + a_{q-1}n^{1 - p} + \frac{a_q}{n^p}} = \frac{a_0 + a_1\cdot 0 + ... + a_{p-1} \cdot 0 + a_p \cdot 0}{b_0 + b_1 \cdot 0 + ... + a_{q - 1} \cdot 0 + a_q \cdot 0} = \frac{a_0}{b_0}.\)
В итоге получаем \(p \leq q.\)
(2) Пусть \(p, q \in \mathbb{N}, p > q; a_0, b_0 \in \mathbb{R}, a_0 \neq0, b_0 \neq 0.\)
Тогда по теореме об арифметике пределов для последовательностей \(\lim_{n \to \infty}\frac{a_0n^p + a_1n^{p-1} + ... + a_{p-1}n + a_p}{b_0n^q + b1n^{q-1} + ... + a_{q-1}n^q + a_q} = \lim_{n \to \infty}\frac{a_0n^{p - q} + a_1n^{p - q - 1} + ... + a_{p-1}n^{1 - q} + \frac{a_p}{n^q}}{b_0 + b1n^{-1} + ... + a_{q-1}n^{1 - q} + \frac{a_q}{n^q}} = \frac{+\infty}{b_0 + b_1 \cdot 0 + ... + a_{q - 1} \cdot 0 + a_q \cdot 0} = +\infty.\)
В итоге получаем \(p > q.\)