Помогите доказать пределы по определению
Добавлено: 16 окт 2022, 15:00
\(\lim_{x \to \infty }\frac{(2n^3-3)(3n^2+4)}{3n^5+8n^2+2} \lim_{x \to 0}\frac{(1-x)^3-(1+3x)}{x^3-x}\)
Форум сайта AMKbook.Net
Помощь с решением задач стандартного курса высшей математики.
https://amkbook.net/forum/
Помогите доказать пределы по определению
Страница 1 из 1
Re: Помогите доказать пределы по определению
Добавлено: 16 окт 2022, 15:11
Не совсем понял, что именно вам требуется. Вам нужно найти пределы, а потом по определению доказать, что эти пределы равны найденным ранее числам?
Re: Помогите доказать пределы по определению
Добавлено: 16 окт 2022, 16:26
Да, я не могу разобраться с определением по Коши.
Сами пределы равны 2 и 6 соответственно.
Сами пределы равны 2 и 6 соответственно.
Re: Помогите доказать пределы по определению
Добавлено: 16 окт 2022, 17:16
А с чем конкретно возникли сложности, можете показать свои попытки решения? Для начала с пределом последовательности.
Re: Помогите доказать пределы по определению
Добавлено: 16 окт 2022, 19:06
Сам предел не вызвал сложностей.
Я не могу понять как поступить дальше в доказательстве и примере.
Я не могу понять как поступить дальше в доказательстве и примере.
Re: Помогите доказать пределы по определению
Добавлено: 16 окт 2022, 19:26
В принципе, полученное выражение под модулем верно. Только его нужно ограничить.
Несложно показать, что, например, \(100n^3\gt\left|8n^3-25n^2-16\right|\). С учётом этого неравенства, получим:
А далее рассуждаем просто: если \(\frac{100}{n^2}\lt\varepsilon\), т.е. \(n\gt\frac{10}{\sqrt{\varepsilon}}\), то неравенство \(\left|\frac{8n^3-25n^2-16}{3n^5+8n^2+2} \right|\lt\varepsilon\) будет истинным.
\(
\left|\frac{8n^3-25n^2-16}{3n^5+8n^2+2} \right|
=\frac{\left|8n^3-25n^2-16\right|}{3n^5+8n^2+2}
\)
\left|\frac{8n^3-25n^2-16}{3n^5+8n^2+2} \right|
=\frac{\left|8n^3-25n^2-16\right|}{3n^5+8n^2+2}
\)
Несложно показать, что, например, \(100n^3\gt\left|8n^3-25n^2-16\right|\). С учётом этого неравенства, получим:
\(
\frac{\left|8n^3-25n^2-16\right|}{3n^5+8n^2+2}
\lt\frac{100n^3}{3n^5+8n^2+2}
\lt\frac{100n^3}{n^5}
=\frac{100}{n^2}
\)
\frac{\left|8n^3-25n^2-16\right|}{3n^5+8n^2+2}
\lt\frac{100n^3}{3n^5+8n^2+2}
\lt\frac{100n^3}{n^5}
=\frac{100}{n^2}
\)
А далее рассуждаем просто: если \(\frac{100}{n^2}\lt\varepsilon\), т.е. \(n\gt\frac{10}{\sqrt{\varepsilon}}\), то неравенство \(\left|\frac{8n^3-25n^2-16}{3n^5+8n^2+2} \right|\lt\varepsilon\) будет истинным.
Re: Помогите доказать пределы по определению
Добавлено: 16 окт 2022, 19:31
Спасибо огромное за пояснения! Ваше объяснение действительно внесло больше ясности!
Можно так же уточнить, в следующем примере схема остается той же, верно?
Можно так же уточнить, в следующем примере схема остается той же, верно?
Re: Помогите доказать пределы по определению
Добавлено: 16 окт 2022, 19:41
В следующем примере не предел последовательности, а предел функции. Там иное определение.
Кстати, у вас опечатка в условии первого предела: там не \(x\to\infty\), а \(n\to\infty\).
Кстати, у вас опечатка в условии первого предела: там не \(x\to\infty\), а \(n\to\infty\).