Знаете, я бы, наверное, начал немного не с этого. У вас суммируются функции вот такого вида:
\(u_n=2^nx^{3n}\arcsin\frac{x}{3n}\). Вопрос: а при каких значениях переменной
\(x\) эти функции будут определены? Исходя из наличия арксинуса можно сделать вывод, что данные функции определены при условии
\(\left|\frac{x}{3n}\right|\le{1}\), т.е.
\(|x|\le{3n}\) при всех
\(n\in{N}\). Выбирая самое малое значение
\(n\), получим интервал, на котором будут определены все функции
\(u_n(x)\), т.е.
\(-3\le{x}\le{3}\). Исследования можно проводить лишь при условии
\(x\in[-3;3]\).
Конечно же, мы рассматриваем ряд из модулей, т.е.
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|\). Применять к этому ряду радикальный признак Коши мне видится не совсем целесообразным, хотя и не столь уж сложным делом. Мне кажется, что признак Д'Аламбера попроще будет, тем паче, что при его применении можно будет использовать эквивалентности вида
\(\arcsin\frac{x}{n}\sim\frac{x}{n}\). Конечно же, данный признак применим, если
\(u_n(x)\neq{0}\), однако этого легко добиться: принять
\(x\neq{0}\).
\(
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|
=2|x|^3
\)
Отсюда получаем, что при
\(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\lt{x}\lt\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\),
\(x\neq{0}\) ряд сходится. Впрочем, банальной подстановкой убеждаемся, что при
\(x=0\) ряд сходится, поэтому исключать это значение не нужно.
Таким образом. исходный ряд абсолютно сходится при
\(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\lt{x}\lt\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\). А далее уже проверяйте сходимость на концах интервала - используя признак сравнения в предельной форме.