Форум сайта AMKbook.Net

Дано \(y=x^{2}\). (В задачнике может быть опечатка) Когда \(x\rightarrow 2\), то \(y\rightarrow 4\). Каково должно быть \(\delta\), чтобы из \(\left | x-2 \right |<\delta\) следовало \(\left | y-4 \right |<\varepsilon =0,001\)?

Из определения предела:
\(\forall \varepsilon >0 \exists \delta (\varepsilon )>0: 0<\left | x-2 \right |<\delta \Rightarrow \left | x^{2}-4 \right |<\varepsilon\)
\(\left | (x+2)(x-2) \right |<\varepsilon\)
\(\left | (x-2)(x+2) \right |<\left | \delta (\delta +4) \right |<\varepsilon\)
Пояснение: -𝛿<𝑥−2<𝛿
𝑥<𝛿+2
𝑥+2<𝛿+4
Далее снимаем знак модуля, так как под ним-очевидно- стоит положительное значение, так как 𝛿>0 по определению.
\(\delta ^{2}+4\delta <\varepsilon\)
\(\delta ^{2}+4\delta +4-4<\varepsilon\)
\((\delta +2)^{2}<\varepsilon +4\)
\(\delta +2< \sqrt{\varepsilon +4}\)
\(\delta <\sqrt{\varepsilon +4}-2\approx 0,00025\)

Спасибо за ваше решение, тут надо подумать - стоит ли решать задачу в общем виде или нет. Насколько я понимаю, автор указал в задаче, что при \(x\to{2}\) имеем \(y\to{4}\) для того, чтобы не рассматривать ситуацию в общем ключе, сразу рассматривая заданное значение \(\varepsilon\). Хотя надо поразмыслить, как всё это изложить в понятной читателю форме

Добрый день!
В первых строках я написала полное условие задачи.

Очевидно,что здесь опечатка, так как если бы \(y=x^{3}\), то при \(x\rightarrow 2\)
\(y\rightarrow 8\).

Наверное, тут зависит от издания. У меня печатное издание 2002 года, и там уже написано, что \(y=x^2\).