Проекции векторов
Добавлено: 25 окт 2021, 22:46
Дан правильный тетраэдр и вектор, который может быть абсолютно любым. Необходимо найти сумму проекций этого вектора на грани тетраэдра
\(
\bar{x}
=k_1\bar{a}+k_2\bar{b}+k_3\bar{c}
\)
\bar{x}
=k_1\bar{a}+k_2\bar{b}+k_3\bar{c}
\)
Пусть грани пирамиды - это плоскости \(\alpha_i\), \(i=\overline{1,4}\).
Проекция обладает свойством линейности, т.е.
\(
\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{x}
=k_1\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{a}+k_2\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{b}+k_3\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{c}
\)
\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{x}
=k_1\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{a}+k_2\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{b}+k_3\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{c}
\)
Суммируя данные равенства, получим примерно следующее:
\(
\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{x}
=k_1\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{a}+k_2\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{b}+k_3\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{c}
\)
\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{x}
=k_1\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{a}+k_2\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{b}+k_3\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{c}
\)
Вообще, по идее, достаточно найти \(\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{a}\), так как остальные суммы в правой части получатся исходя из соображений симметрии. Спроектировать вектор ребра пирамиды на грани, мне кажется, должно получиться.