Страница 1 из 1
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
Добавлено: 23 апр 2021, 17:39
Adriana
Исследовать интеграл на сходимость
\(\int_{0}^{+\infty }\ln^{\alpha } (ch(x))\arcsin\frac{2x}{x^{2}+3} dx\)
Подскажите, пожалуйста, как действовать...
Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость
Добавлено: 23 апр 2021, 18:05
Алексей
Ок, я попозже гляну. А откуда этот пример, из какого задачника?
Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость
Добавлено: 23 апр 2021, 18:17
Adriana
Ок, я попозже гляну.
Хорошо)
А откуда этот пример, из какого задачника?
Препод дал нам пару таких задач в качестве практики, но разбирать их с нами не намерен...
Откуда их берёт, не в курсе
Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость
Добавлено: 23 апр 2021, 23:00
Алексей
Мне кажется, что логично разбить данный интеграл на два, так как при некоторых значениях
\(\alpha\) получим функцию, неограниченную в правой окрестности нуля:
\(
f(x)=\ln^{\alpha}(\ch{x})\arcsin\frac{2x}{x^{2}+3};\\
\int\limits_{0}^{+\infty}f(x)dx
=\int\limits_{0}^{1}f(x)dx
+\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)dx
\)
Далее составить эквивалентности для подынтегральной функции при условии
\(x\to{0+0}\) и при условии
\(x\to+\infty\).
Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость
Добавлено: 23 апр 2021, 23:18
Adriana
Далее составить эквивалентности для подынтегральной функции при условии x→0+0 и при условии x→+∞.
При условии, что x→0+0
\(\arcsin (\frac{2x}{x^{2}+3}) \sim \frac{2x}{x^{2}+3}\) и
\(\ch{x} \sim x\). Так ведь?
Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость
Добавлено: 24 апр 2021, 08:59
Алексей
Нет, гиперболический косинус не эквивалентен иксу. Посмотрите формулы Маклорена. Кроме того, для первого интеграла можно сразу отметить, что при \(\alpha\ge{0}\) интеграл становится собственным и, соответственно, сходится. Т.е. для первого интеграла остаётся рассмотреть случай \(\alpha\lt{0}\).
Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость
Добавлено: 25 апр 2021, 17:36
Adriana
Нет, гиперболический косинус не эквивалентен иксу.
Я это плохо понимаю, честно говоря, подумала о 2 вариантах...
\(\cosh (x) \sim \frac{x^{2}}{2} + 1 \) или
\(\cosh (x) \sim \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\) при
\(x \rightarrow \infty \)
Имею ли я право так написать или такая запись не выдерживает никакой критики?))
Т.е. для первого интеграла остаётся рассмотреть случай \(\alpha\lt{0}\).
Думаю, и в этом случае интеграл сходится.
Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость
Добавлено: 26 апр 2021, 00:55
Алексей
Adriana писал(а): ↑25 апр 2021, 17:36
Имею ли я право так написать или такая запись не выдерживает никакой критики?))
Писать можно всё, что угодно, - иное дело, будет ли это верным.
Мы рассматриваем первый интеграл при
\(\alpha\lt{0}\), для чего нам надо использовать эквивалентности. И я не совсем понимаю, откуда берутся эти "варианты", если можно просто загуглить и узнать, какова формула Маклорена для гиперболического косинуса. Исходя из этой формулы нужно получить формулу Маклорена для
\(\ln\ch{x}\).
Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость
Добавлено: 26 апр 2021, 15:34
Adriana
И я не совсем понимаю, откуда берутся эти "варианты", если можно просто загуглить и узнать, какова формула Маклорена для гиперболического косинуса.
Если просто загуглить, выдаёт это:
\(\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{x^{2n}}{(2n)!}\)
Как мне это поможет в решении? Как мне это... подставлять потом в логарифм, да чтоб ещё и с логарифмом получать формулу Маклорена??
Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость
Добавлено: 26 апр 2021, 18:05
Алексей
Это вы записали
ряд Маклорена. Я же говорил о
формуле Маклорена. Согласно этой формуле мы получим, что
\(\ch{x}=1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\). Это даёт нам возможность написать следующее:
\(
\ln\ch{x}
=\ln\left(1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\right)
\)
С другой стороны, мы знаем, что
\(\ln(1+z)=z+o(z)\). Подставляя
\(z=\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\), мы и получим формулу Маклорена для
\(\ln\ch{x}\).
Кстати, на первой же странице гугла по запросу "формула Маклорена" есть прекрасная
методичка от МФТИ. Советую выписать или распечатать формулы из пункта 1.3.4 (стр. 8-10), а также формулы из пункта 3.1. Отдельно желательно глянуть примеры 2.4 и 2.7 (два способа).